如图,已知二次函数$y=ax^{2}-4x+c$的图象经过点$A\left(-1,-1\right)$和点$B\left(3,-9\right)$.
$(1)$求该二次函数的解析式；
$(2)$写出该二次函数图象的对称轴______,顶点坐标______；
$(3)$点$C\left(m,m\right)($其中$m \gt 0)$与点$D$均在该函数图象上,且这两点关于函数图象的对称轴对称,求$m$的值及点$D$的坐标.