如图,在等腰$Rt\triangle ABC$中,角$ACB=90^{\circ}$,$P$是线段$BC$上一动点（与点$B$,$C$不重合）连接$AP$,延长$BC$至点$Q$,使$CQ=CP$,过点$Q$作$QH\bot AP$于点$H$,交$AB$于点$M$.
$(1)\angle APC=\alpha$,求$\angle AMQ$的大小（用含$\alpha$的式子表示）；
$(2)$在（1）的条件下,过点$M$作$ME\bot QB$于点$E$,试证明$PC$与$ME$之间的数量关系,并证明.