$(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$CD$平分$\angle ACB$,$BE\bot CD$,垂足为$E$,试探究线段$BE$和$CD$之间的数量关系,并写出你的理由.
$(2)$如图$2$,把条件改为:"在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$在$BC$上,$\angle EDB=\frac{1}{2}\angle C$,$BE\bot ED$,$DE$与$AB$相交于$F$点,则线段$BE$和$FD$之间的数量关系如何?并证明你的结论."