如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$L_{1}$:$y=x^{2}-2x-3$的顶点为$P$.直线$l$过点$M\left(0,m\right)\left(m\geqslant -3\right)$,且平行于$x$轴,与抛物线$L_{1}$交于$A$、$B$两点$(B$在$A$的右侧).将抛物线$L_{1}$沿直线$l$翻折得到抛物线$L_{2}$,抛物线$L_{2}$交$y$轴于点$C$,顶点为$D$.
$(1)$当$m=1$时,求点$D$的坐标；
$(2)$连接$BC$、$CD$、$DB$,若$\triangle BCD$为直角三角形,求此时$L_{2}$所对应的函数表达式；
$(3)$在（2）的条件下,若$\triangle BCD$的面积为$3$,$E$、$F$两点分别在边$BC$、$CD$上运动,且$EF=CD$,以$EF$为一边作正方形$EFGH$,连接$CG$,写出$CG$长度的最小值,并简要说明理由.