在$\triangle ABC$中,$AB=5$,$AC=3$.若点$D$在$\angle BAC$的平分线所在的直线上.

$(1)$如图$1$,当点$D$在$\triangle ABC$的外部时,过点$D$作$DE\bot AB$于$E$,作$DF\bot AC$交$AC$的延长线于$F$,且$BE=CF$.
①求证:点$D$在$BC$的垂直平分线上；
②$BE= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$如图$2$,当点$D$在线段$BC$上时,若$\angle C=90^{\circ}$,$BE$平分$\angle ABC$,交$AC$于点$E$,交$AD$与点$F$,过点$F$作$FG\bot BE$,交$BC$于点$G$.
①$\angle DFG=$______；
②若$BC=4$,$EC=\frac{4}{3}$,求$GC$的长度.
$(3)$如图$3$,过点$A$的直线$l$∥$BC,$若$\angle C=90^{\circ}$,$BC=4$,点$D$到$\triangle ABC$三边所在直线的距离相等,则点$D$到直线$l$的距离是______.