如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴分别交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(5,0\right)$两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点$C$,作$CD$垂直$X$轴于点$D$,链接$AC$,且$AD=5$,$CD=8$,将$Rt\triangle ACD$沿$x$轴向右平移$m$个单位,当点$C$落在抛物线上时,求$m$的值；

（3）在（2）的条件下,当点$C$第一次落在抛物线上记为点$E$,点$P$是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点$Q$,使以点$B$、$E$、$P$、$Q$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.