如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$为射线$BC$上一点,过点$D$作$DE\bot AC$于$E$,
$(1)$如图$1$,当点$D$在边$BC$上,若$\angle BAC=40^{\circ}$,求$\angle EDC$的度数；
$(2)$如图$2$,当点$D$在$BC$的延长线上时,记$S_{\triangle ABC}=S_{1}$,$S_{\triangle ADC}=S_{2}$,$AB=m$,$AD=n$,当$S_{1}=k\cdot S_{2}$时,$m=k\cdot n$,
①当$\angle CDE=15^{\circ}$时,求$\frac{AD}{ED}$的值；
②请判断$AB$,$AD$,$AE$的数量关系,并说明理由.