下面是小倩同学解方程$\frac{3x+1}{x-3}-2=\frac{2}{x-3}$的过程,请认真阅读并解答相应问题.
解:方程两边同乘$\left(x-3\right)$,得
$3x+1-2=2$第一步,
$3x=2-1+2$第二步,
$3x=3$第三步,
$x=1$第四步.
$(1)$以上解题过程中,第______步开始出现错误,这一步错误的原因是______；
$(2)$写出该方程正确的解题过程.