如图,在直角坐标系中,直线$AC$的解析式为$y=2x-\frac{5}{2}$,与$y$轴交于点$C$,点$A\left(2,m\right)$在直线$AC$上,过点$A$的直线交$y$轴于点$B\left(0,3\right)$.
$(1)$求$m$的值和直线$AB$的函数表达式；
$(2)$求$\triangle ABC$的面积；
$(3)$若点$P(t$,$y_{1})$在线段$AB$上,点$Q(t-1$,$y_{2})$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_{1}-y_{2}$的最大值.