小明在进行研究性学习时发现:$3$、$4$、$5$；$5$、$12$、$13$；$7$、$24$、$25$这三组数除了满足$3^{2}=5^{2}-4^{2}$；$5^{2}=13^{2}-12^{2}$；$7^{2}=25^{2}-24^{2}$这样的关系外,还满足$3^{2}=4+5$；$5^{2}=12+13$；$7^{2}=24+25$.这是巧合还是必然?为此小明通过进一步分析,归纳发现:如$3$,$4$,$5$这组数满足$3^{2}=4+5$,其中$5=4+1$.可得:$4=\frac{{3}^{2}-1}{2}$,$5=\frac{{3}^{2}+1}{2}$,将它与$3^{2}=5^{2}-4^{2}$这一关系式整合,就不难得到:
$3^{2}=(\frac{{3}^{2}+1}{2})^{2}-(\frac{{3}^{2}-1}{2})^{2}($记作式①).
$(1)$聪明的同学,你能类比式①,得到$5^{2}=$______；
一般化可得:$n^{2}=$______；若要使得式子中的三个底数都是正整数,则$n$需满足的条件是______；
$(2)$请你通过因式分解说明（1）中你所得到的一般化式子的正确性；
$(3)$运用上面所得到的结论,计算:$\sqrt{1{3}^{2}+8{4}^{2}}$.