历史上的数学巨人欧拉最先把关于$x$的多项式用记号$f\left(x\right)$的形式来表示,把$x$等于某数$a$时的多项式的值用$f\left(a\right)$来表示,例如,当$x=-1$时,$f\left(x\right)=x^{2}+4x-5$的值记为$f\left(-1\right)$,则$f\left(-1\right)=-8$.已知$f\left(x\right)=ax^{5}+bx^{3}+3x+c$且$f\left(0\right)=-2$,则:
$(1)c=$______；
$(2)$若$f\left(1\right)=2$,求$a+b$与$f\left(-1\right)$的值；
$(3)$若$f\left(2\right)=204$,$b$和$d$均为质数,且$d\leqslant b$,$n$为奇数,有$d+nb=155$,求$a$和$b$的值.