如图,已知在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过$A\left(-1,4\right)$、$B\left(3,-4\right)$两点,且与$y$轴的交点为点$C$.
$(1)$求此抛物线的表达式及对称轴；
$(2)$求$\cot \angle OBC$的值；
$(3)$在抛物线上是否存在点$P$,使得$\triangle PBC$是以$BC$为直角边的直角三角形?如果存在,求出所有符合条件的点$P$坐标；如果不存在,请说明理由.