如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是:当冷柜温度达到$-4^{\circ}\mathrm{C}$时制冷开始,温度开始逐渐下降,当温度下降到$-20^{\circ}\mathrm{C}$时制冷停止,温度开始逐渐上升,当温度上升到$-4^{\circ}\mathrm{C}$时,制冷再次开始,$\ldots$,按照以上方式循环工作.通过分析发现,当$0\leqslant x \lt 4$时,温度$y$是时间$x$的一次函数；当$4\leqslant x \lt t$时,温度$y$是时间$x$的反比例函数.
$(1)$求$t$的值；
$(2)$若规定温度低于$-10^{\circ}\mathrm{C}$的时间为有效制冷时间,那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间?