如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x+2$与$x$轴,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,点$C\left(2,m\right)$为直线$y=x+2$上一点,直线$y=-\frac{1}{2}x+b$过点$C$.
$(1)$求$m$和$b$的值；
$(2)$直线$y=-\frac{1}{2}x+b$与$x$轴交于点$D$,动点$P$从点$D$开始以每秒$1$个单位的速度向$x$轴负方向运动.设点$P$的运动时间为$t$秒.
①若点$P$在线段$DA$上,且$\triangle ACP$的面积为$10$,求$t$的值；
②是否存在$t$的值,使$\triangle ACP$为等腰三角形?若存在,直接写出$t$的值；若不存在,请说明理由.