如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知直线$AB:y=\frac{2}{3}x+4$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$.直线$CD:y=-\frac{1}{3}x-1$与直线$AB$相交于点$M$,交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$.
$(1)$直接写出点$B$和点$D$的坐标；
$(2)$若点$P$是直线$MD$在第四象限内的一个动点,设点$P$的横坐标是$x$,$\triangle PBM$的面积是$S$,求$S$与$x$之间的函数关系；
$(3)$在（2）的条件下,当$S=20$时,在平面直角坐标系内存在点$E$,使以点$B$,$E$,$P$,$M$为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点$E$的坐标.