已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$中,函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表:

$x$	$\ldots$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
$y$	$\ldots$	$10$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$	$\ldots$

$(1)$求该二次函数的关系式；
$(2)$当$x$为何值时,$y$有最小值,最小值是多少?
$(3)$若$A(m$,$y_{1})$,$B(m+1$,$y_{2})$两点都在该函数的图象上,且$m \gt 2$,试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小.