据我国古代《周髀算经》记载,公元前$1120$年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为"勾三,股四,弦五".
$(1)$观察:$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$\ldots$,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过.计算$\frac{1}{2}\left(9-1\right)$、$\frac{1}{2}\left(9+1\right)$与$\frac{1}{2}\left(25-1\right)$、$\frac{1}{2}(25+1)$,并根据你发现的规律,分别写出能表示$7$,$24$,$25$的股和弦的算式；
$(2)$根据（1）的规律,用$n(n$为奇数且$n\geqslant 3)$的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想它们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
$(3)$继续观察$4$,$3$,$5$,$6$,$8$,$10$,$8$,$15$,$17$,$\ldots$,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从$4$起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用$m(m$为偶数且$m \gt 4)$的代数式来表示它们的股和弦.