在平面直角坐标系$xOy$中,$\odot O$的半径为$2$,对于点$A$和$\odot O$的弦$BC$,给出如下定义:
若$\angle BAC=90^{\circ}$,则称弦$BC$是点$A$的"关联弦".
$(1)$如图$1$,已知点$A\left(1,0\right)$,点$B_{1}(2,0)$,$C_1(1,\sqrt{3})$,$B_{2}(-2,0)$,$C_2(1,-\sqrt{3})$,$B_{3}(0,2)$,$C_3(-1,-\sqrt{3})$,在弦$B_{1}C_{1}$,$B_{2}C_{2}$,$B_{3}C_{3}$中,点$A$的"关联弦"是______；
$(2)$如图$2$,已知点$B(-\sqrt{3},-1)$,$C(\sqrt{3}$,$-1)$在$\odot O$上,弦$BC$是点$A$的"关联弦",直接写出$OA$长度的最大值；
$(3)$如图$3$,已知点$M\left(0,-2\right)$,$N(2\sqrt{3}$,$0)$,对于线段$MN$上一点$S$,存在$\odot O$的弦$BC$,使得弦$BC$是点$S$的"关联弦",若对于点$S$,将其对应的"关联弦"$BC$长度的最大值记为$d$,则当点$S$在线段$MN$上运动时,直接写出$d$的取值范围.