课本再现
如图$1$,我们称该图案为"赵爽弦图"."赵爽弦图"由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中空的部分是一个小正方形,其中直角三角形的两直角边长为$a$,$b\left(b \gt a \gt 0\right)$,斜边长为$c$.

$(1)$请利用图$1$验证勾股定理；
知识应用
$(2)$在图$1$中,若$c=15$,$b=12$,求小正方形的面积；
$(3)$小明按图$2$的方式把边长为$3cm$和$2cm$的两个正方形切割成$5$块,按图$3$的方式无缝拼成一个大正方形,则大正方形的边长是______.