在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=AC=4$,$O$是$BC$边上的点且$\odot O$与$AB$、$AC$都相切,切点分别为$D$、$E$.
$(1)\odot O$的半径为______；
$(2)$如果$F$为$DE$上的一个动点（不与$D$、$E$重合）,过点$F$作$\odot O$的切线分别与边$AB$、$AC$相交于$G$、$H$,连接$OG$、$OH$,有两个结论:①四边形$BCHG$的周长不变,②$\angle GOH$的度数不变.已知这两个结论只有一个正确,找出正确的结论并证明；
$(3)OC$与$\odot O$相交于$M$,求阴影部分面积.