已知数轴上有两点$A$、$B$,点$A$对应的数为$-12$,点$B$在点$A$的右边,且距离$A$点$16$个单位,点$P$为数轴上一动点,其对应的数为$x$.

$(1)$若点$P$到点$A$,$B$的距离相等,求点$P$对应的数；
$(2)$是否存在这样的点$P$,使点$P$到点$A$,$B$的距离之和为$20$?若存在,请求出$x$的值；若不存在,请说明理由?
$(3)$点$Q$是数轴上另一个动点,动点$P$,$Q$分别从$A$,$B$同时出发,点$P$以每秒$6$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点$Q$以每秒$4$个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,点$M$为$AP$的中点,点$N$在线段$BQ$上,且$BN=\frac{1}{3}BQ$,设运动时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒.
①分别求数轴上点$M$,$N$表示的数（用含$t$的式子表示）；
②$t$为何值时,$M$,$N$之间的距离为$10$?