在学习完全平方公式:$\left(a\pm b\right)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$后,我们对公式的运用进一步探讨.
$(1)$若$ab=30$,$a+b=10$,求$a^{2}+b^{2}$的值.
$(2)$阅读以下解法,并解决相应问题.
"若$y$满足$\left(40-y\right)\left(y-20\right)=50$,求$\left(40-y\right)^{2}+\left(y-20\right)^{2}$的值".
解:设$40-y=a$,$y-20=b$,则$a+b=\left(40-y\right)+\left(y-20\right)=20,ab=\left(40-y\right)\left(\left(y-20\right)\right)=50,ab=\left(40-y\right)\left(y-20\right)=50$,这样就可以利用（1）的方法进行求值了.①若$x$满足$\left(50-x\right)\left(x-40\right)=2$,则$\left(50-x\right)^{2}+\left(x-40\right)^{2}= \_\_\_\_\_\_.$
②若$x$满足$4\left(x+3\right)^{2}+\left(2x-1\right)^{2}=169$,求$2\left(x+3\right)\cdot \left(2x-1\right)$的值；
③如图,在长方形$ABCD$中,$AB=10$,$BC=6$,$E$,$F$分别是$BC$,$CD$上的点,且$BE=DF=x$,分别以$FC$,$CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和正方形$CEMN$,若长方形$CEPF$的面积为$45$,求图中阴影部分的面积.