折纸,操作简单,富有数学趣味,常常能为我们解决问题提供思路和方法.
【动手操作】如图为一张三角形纸片$ABC$,$\angle C=90^{\circ}$,现将纸片按如图$1$折叠,翻折后点$A$的对应点为${A\’}$,折痕为$MN($点$M$、$N$分别在边$AB$、$AC$上且$M$、$N$不与端点重合).
$(1)$当$\triangle AMN$是以$\angle A$为顶角的等腰三角形时,翻折后点${A\’}$恰好落在$BC$边上,且$MA\’\bot BC$,用无刻度的直尺和圆规在图$2$中作出此时的折痕$MN.($保留作图痕迹$)\left(2\right)$在（1）的条件下,若${A\’}C=4$,$AC=8$,求$MC$的长.
$(3)$如图$3$,当点$A$的对应点${A\’}$在$BC$边下方,$MA\’$、$NA\’$分别交$BC$于点$P$、$Q$,当$\triangle BPM$和$\triangle {A\’}PQ$都是等腰三角形时,则$\angle A=\_\_\_\_\_\_(在横线上直接写出答案)$.