在平面直角坐标系$xOy$中,线段$AB=4$,点$M$,$N$在线段$AB$上,且$MN=2$,$P$为$MN$的中点,如果任取一点$Q$,将点$Q$绕点$P$顺时针旋转$180^{\circ}$得到点${Q\’}$,则称点${Q\’}$为点$Q$关于线段$AB$的"旋平点".

$(1)$如图$1$,已知$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$,$Q\left(1,2\right)$,如果${Q\’}\left(a,b\right)$为点$Q$关于线段$AB$的"旋平点",画出示意图,写出$a$的取值范围；
$(2)$如图$2$,$\odot O$的半径为$3$,点$A$,$B$在$\odot O$上,点$Q\left(1,0\right)$,如果在直线$x=m$上存在点$Q$关于线段$AB$的"旋平点",求$m$的取值范围.