小晶想在一块形状为直角三角形$(∠C=90°)$的铁皮上截出一个半圆形铁皮，现要使半圆的圆心在线段$AC$上，使这个半圆与$AB$，$BC$都相切．下面是小品设计的尺规作图的过程．
已知：如图，$\triangle ABC$，$∠C=90°.$
求作：以线段$AC$上点$O$为圆心的半圆弧，使它与$AB$，$BC$都相切．
作法：①作$∠ABC$的平分线与$AC$相交于$O$点；
②以$O$为圆心，$OC$长为半径作半圆弧与$AC$交于$D$点；
所以半圆弧$CD$即为所求．
根据小晶设计的尺规作图的过程
$(1)$使用直尺和圆规，补全图形；$($保留作图痕迹$)$
$(2)$完成下面的证明，
证明：$∵$点$C$在$⊙O$上，且$∠ACB=90°$即$BC⊥AC.$
$∴BC$与$⊙O$相切于点$C$______$($填推理的依据$)$
过$O$作$OE⊥AB$于点$E$，
$∴BO$是$∠ABC$的平分线，且$OC⊥BC$，$OE⊥AB$于点$E.$
$∴$______$=OC$，$($______$)($填推理的依据$).$
$∴$点$E$在$⊙O$上．
$∴AB$与$⊙O$相切于点$E.$