如图,已知抛物线$y=ax^{2}+bx+3$经过点$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$两点,且交$y$轴交于点$C$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$点$M$是线段$BC$上的点（不与$B$、$C$重合),过$M$作$MN$∥$y$轴交抛物线于$N$,若点$M$的横坐标为$m$,请用$m$的代数式表示$MN$的长；
$(3)$在（2）的条件下,连接$NB$,$NC$,是否存在点$M$,使$\triangle BNC$的面积最大?若存在,求$m$的值；若不存在,说明理由.