生活中的数学:

$(1)$某中学计划为新生军训配备如图$1$所示的折叠凳,这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定,这种设计所运用的数学原理是______；
$(2)$图$2$是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计）,其中凳腿$AB$和$CD$的长相等,$O$是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开时的凳面宽度$AD$设计为$30cm$,求撑开时的凳腿间距$CB$；
$(3)$为了节省空间,凳子不用时折叠起来摆放,如图$3$是折叠凳折叠时的侧面示意图,在（2）的条件下,已知撑开时凳面与凳腿的夹角$\angle A$为$60^{\circ}$,求折叠时的凳子高度$AB$.