学习代数式求值时,遇到这样一类题:"代数式$ax-y+6+3x-5y-1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值".通常的解题方法是:把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为$0$,即原式$=\left(a+3\right)x-6y+5$,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
$(1)$已知$A=2x^{2}-\left(1-3n\right)x$,$B=-x^{2}+nx-1$,且$3A+6B$的值与$x$的取值无关,求$n$的值；
$(2)$有$7$张如图$1$的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照如图$2$的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）,设右上角的面积为$S_{1}$,左下角的面积为$S_{2}$,设$AB=x$,当$AB$的长变化时,$3S_{1}-4S_{2}$的值始终保持不变,请求出$\frac{a}{b}$的值.