如图①,等边$\triangle ABC$中,$AB=6cm$,点$O$在$BC$上,且$OB=2cm$,动点$P$从点$A$出发沿射线$AB$以$1cm/s$速度运动,连接$OP$,将线段$OP$绕点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$OD$,设点$P$运动的时间为$t\left(s\right)$.

$(1)$用含$t$的代数式表示$BP$的长.
$(2)$如图②,当点$D$落在$AC$边上时,求证:$\triangle PBO$≌$\triangle OCD.$
$(3)$当$OD$平行于$\triangle ABC$的一边时,直接写出$t$的值.
$(4)$作点$D$关于点$O$的对称点$E$,当$t=$______秒时,点$E$恰好落在射线$AC$上.