勾股定理体现了数与形的完美结合,小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感,发现新的拼图方法:两个全等的直角三角板$ABC$和直角三角板$DEF$,顶点$D$在$BC$边上,顶点$F$、$B$重合,连接$AE$、$AD$.设$AB$、$DE$交于点$G.\angle ACB=\angle DFE=90^{\circ}$,$BC=EF=a$,$AC=DF=b\left(a \gt b\right)$,$AB=DE=c$.请你回答以下问题:
$(1)$填空:$\angle AGE= \_\_\_\_\_\_^{\circ}$,$S_{四边形ADBE}=$______(用含字母$c$的代数式来表示）；
$(2)$请用两种方法计算四边形$ACBE$的面积,并以此为基础证明勾股定理.