通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
$($模型呈现）
$(1)$如图$1$,$\angle BAD=90^{\circ}$,$AB=AD$,过点$B$作$BC\bot AC$于点$C$,过点$D$作$DE\bot AC$于点$E$.由$\angle 1+\angle 2=\angle 2+\angle D=90^{\circ}$,得$\angle 1=\angle D$.又$\angle ACB=\angle AED=90^{\circ}$,可以推理得到$\triangle ABC$≌$\triangle DAE.$进而得到$AC=$______,$BC=\_\_\_\_\_\_.$我们把这个数学模型称为"$K$字"模型或"一线三等角"模型；
$($模型应用）
$(2)$如图$2$,$\angle BAD=\angle CAE=90^{\circ}$,$AB=AD$,$AC=AE$,连接$BC$,$DE$,且$BC\bot AF$于点$F$,$DE$与直线$AF$交于点$G$.求证:点$G$是$DE$的中点；
$($深入探究）
$(3)$如图,已知四边形$ABCD$和$DEGF$为正方形,$\triangle AFD$的面积为$S_{1}$,$\triangle DCE$的面积为$S_{2}$,则有$S_{1}$______$S_{2}($填"$\gt$、$=$、$\lt ")$