如图,已知在直角$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$E$为$AC$边上一点,连接$BE$,过$E$作$ED\bot AC$,交$BC$边于点$D$.

$(1)$如图$1$,连接$AD$,若$CE=2$,$BD=3\sqrt{2}$,$\angle C=45^{\circ}$,求$\triangle ADE$的面积；
$(2)$如图$2$,作$\angle ABC$的角平分线交$AC$于点$F$,连接$DF$,若$\angle BDE=\angle CDF$,求证:$AE+DE=\sqrt{2}BE$；
$(3)$如图$3$,若$\angle C=30^{\circ}$,将$\triangle BCE$沿$BE$折叠,得到$\triangle BEF$,且$BF$与$AC$交于点$G$,连接$AD$,$DF$,点$E$在$AC$边上运动的过程中,当$BF\bot AC$时,直接写出$\frac{{DF}}{{DA}}$的值.