定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式的"子方程",例如:$2x-1=3$的解为$x=2$,$2x-3 \lt 9-x$的解集为$x \lt 4$.不难发现$x=2$在$x \lt 4$的范围内,所以一元一次方程$2x-1=3$是不等式$2x-3 \lt 9-x$的"子方程".
问题解决:
$(1)$在方程①$3x-1=0$,②$\frac{2}{3}x-1=0$,③$2x+3\left(x+2\right)=11$中不等式$3\left(x-2\right)-x\leqslant -4$的"子方程"是______$;(填序号)$
$(2)$若关于$x$的方程$2x-k=3$是不等式$\frac{x+1}{3}＜x-\frac{x-1}{2}$的"子方程",求$k$的取值范围.