如图,$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,则$AB=2BC$,$AC=\sqrt{3}BC$,对于$\triangle AOB$所在平面内的点$P$,若$\triangle AOB$边上存在不同的两点$M$,$N$,使点$P$关于直线$MN$的对称点在$\triangle AOB$上或其内部,则称点$P$是$\triangle AOB$的"$MN-$关联点".
在平面直角坐标系$xOy$中,$A\left(4,0\right)$,$\triangle AOB$是等边三角形,点$C$是$OB$的中点,点$D$是$AB$边上任意一点.
$(1)$如图$1$,当点$D$是边$AB$的中点时,在点$E\left(1,0\right)$,$F\left(3,3\right)$,$G\left(4,2\right)$中,点______是$\triangle AOB$的"$CD-$关联点"；
$(2)$如图$2$,当点$D$在边$AB$上运动时,若点$P$是$\triangle AOB$的"$CD-$关联点",
①则所有点$P$的纵坐标$t$的取值范围是______；
②则所有点$P$构成图形的周长是______；
$(3)$当点$D$在边$AB$上运动时,若$P$是$\triangle AOB$的"$CD-$关联点",且$\triangle PCD$是等边三角形,点$P$的坐标为$\left(m,n\right)$,则$m$和$n$的取值范围是______.