如图,在正方形$ABCD$中,点$M$是边$BC$上的一点（不与$B$,$C$重合),点$N$在边$CD$的延长线上,且满足$\angle MAN=90^{\circ}$,连接$MN$,$AC$,$MN$与边$AD$交于点$E$.
$(1)$求证:$AM=AN$；
$(2)$若$\angle CAD=2\angle NAD$,求证:$A{M}^{2}=\sqrt{2}AB•AE$；
$(3)MN$交$AC$于点$O$,若$\frac{CM}{BM}=k$,求$\frac{OM}{ON}$的值（用含$k$的代数式表示).