$(1)$如图$1$,在正方形$ABCD$中,$E$是$AB$上一点,$F$是$AD$延长线上一点,且$DF=BE$.求证:$CE=CF$；
$(2)$如图$2$,在正方形$ABCD$中,$E$是$AB$上一点,$G$是$AD$上一点,如果$\angle GCE=45^{\circ}$,请你利用（1）的结论证明:$GE=BE+GD$.
$(3)$运用$\left(1\right)\left(2\right)$解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图$3$,在直角梯形$ABCD$中$,AD$∥$BC\left(BC \gt AD\right),\angle B=90^{\circ}$,$AB=BC$,$E$是$AB$上一点,且$\angle DCE=45^{\circ}$,$BE=4$,$DE=10$,求直角梯形$ABCD$的面积.