【初步探索】
$(1)$如图$1$:在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,且$EF=BE+FD$,探究图中$\angle BAE$、$\angle FAD$、$\angle EAF$之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是:延长$FD$到点$G$,使$DG=BE$.连接$AG$,先证明$\triangle ABE$≌$\triangle ADG,$再证明$\triangle AEF$≌$\triangle AGF$,可得出结论,他的结论应是______.
【灵活运用】
$(2)$如图$2$,若在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B+\angle D=180^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,且$EF=BE+FD$,上述结论是否仍然成立,并说明理由.