如图$1$,线段$AD$∥$BC$,连接$AB$,$CD$,取$CD$的中点$E$,连接$AE$,$AE$平分$\angle BAD$.
$(1)$线段$AB$,$AD$,$BC$之间存在怎样的等量关系?请写出并证明你的结论.
$(2)$如图$2$,如果点$C$在$AB$的左侧,其他条件不变,那么（1）中的结论还成立吗?如果成立,请说明理由；如果不成立,请写出新的结论,并给予证明.