如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形$ABC$中,$CA=CB$,$\angle C=90^{\circ}$,过点$B$作射线$BD\bot AB$,垂足为$B$,点$P$在$CB$上.

$(1)$【动手操作】
如图②,若点$P$在线段$CB$上,画出射线$PA$,并将射线$PA$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$与$BD$交于点$E$,根据题意在图中画出图形,图中$\angle PBE$的度数为______度；
$(2)$【问题探究】
根据（1）所画图形,探究线段$PA$与$PE$的数量关系,并说明理由；
$(3)$【拓展延伸】
如图③,若点$P$在射线$CB$上移动,将射线$PA$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$与$BD$交于点$E$,探究线段$BA$,$BP$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.