抛物线$y_{1}=-x^{2}+b_{1}x+c_{1}$与$x$轴交于点$\left(-2,0\right)$,与$y$轴交于点$\left(0,4\right)$.
$(1)$求抛物线$y_{1}$的解析式；
$(2)$将抛物线$y_{1}=-x^{2}+b_{1}x+c_{1}$顶点的横坐标加$1$,纵坐标不变,得到抛物线$y_{2}=-x^{2}+b_{2}x+c_{2}$.
①请直接写出$b_{2}=$______,$c_{2}=$______；
②若点$A$,$B$为抛物线$y_{2}$上的点,横坐标分别为$-2$,$t$,点$A$,$B$之间（包括端点）的函数图象称为图象$M$,设图象$M$的最高点与最低点的纵坐标分别为$d_{1}$,$d_{2}$,当$d_{1}-d_{2}=2t+6$时,求$t$的值；
③点$C$为抛物线$y_{1}$上的任意一点,其横坐标为$m$,过点$C$作$CD\bot x$轴交抛物线$y_{2}$于点$D$,过点$C$作$y$轴的垂线交抛物线$y_{1}$于点$E$,过点$D$作$y$轴的垂线交抛物线$y_{2}$于点$F$,设以$C$,$D$,$E$,$F$为顶点的图形面积为$S$,$\frac{1}{2} \lt S \lt 2$.当点$C$在$D$的上方,以$C$,$D$,$E$,$F$为顶点的图形是四边形时,请直接写出此时$m$的取值范围______.