已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过$\left(1,0\right)$,$\left(-2,t\right)$两点,其中$t \lt 0$,对称轴为$x=-1$.下列四个结论:①$bc \lt 0$；②$c=t$；③点$A(s$,$y_{1})$、$B(s+1$,$y_{2})$在抛物线上,当$s \lt -1$时,$y_{1} \gt y_{2}$；④已知关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c-m=0\left(m \gt 0\right)$有两个根,其中一个根是$3$,若关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c-n=0\left(0 \lt n \lt m\right)$有整数根,则其根为$-4$和$2$；其中正确的结论是______$(填写序号)$.