我们知道,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.通过观察常见勾股数"$6$,$8$,$10$""$8$,$15$,$17$"$\ldots \ldots$猜想一组正整数$a$,$b$,$c\left(a \lt b \lt c\right)$,当最小数$a$为偶数时,另两个正整数$b$和$c$满足$b={(\frac{a}{2})}^{2}-1,c={(\frac{a}{2})}^{2}+1$,则$a$,$b$,$c$是一组勾股数.
$(1)$根据猜想,一组正整数中,最小数$a$为$10$,则另两个数分别是$b=$______,$c=$______；
$(2)$请再举一例证明猜想成立.