勾股定理是一个基本的几何定理,早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有"勾三股四弦五"的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫"整数直角三角形",这三个整数叫做一组"勾股数".值得自豪的是,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中.
【探究$1$】
观察$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$\ldots \ldots$,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过,并且勾为$3$时股$4=\frac{1}{2}×(9-1)$,弦$5=\frac{1}{2}×(9+1)$；勾为$5$时股$12=\frac{1}{2}×(25-1)$,弦$13=\frac{1}{2}×(25+1)$；
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
$(1)$如果勾为$7$,则股$24=$______；弦$25=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$如果用$n(n\geqslant 3$,且$n$为奇数）表示勾,请用含有$n$的式子表示股和弦,则股$=$______,弦$=$______；
【探究$2$】
观察$4$,$3$,$5$；$6$,$8$,$10$；$8$,$15$,$17$；$\ldots$,$a$,$b$,$82$；$\ldots \ldots$,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从$4$起也没有间断过.
$(1)a=$______；$b=$______；
$(2)$如果用$2m(m$为正整数且$m\geqslant 2)$表示勾,请用含有$m$的式子表示股和弦,则股$=$______,弦$=$______；