在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^{2}-2\left(a+1\right)x+3\left(a \gt 0\right)$的对称轴为直线$x=t$.
$(1)t=$______(用含$a$的式子表示）；
$(2)$已知点$(-\frac{2}{a},{y}_{1})$,$(\frac{5}{a},{y}_{2})$在抛物线上,若$y_{1}=y_{2}$,求出$a$的值；
$(3)$已知点$(-2$,$y_{1})$,$(1$,$y_{2})$,$(4+\frac{3}{a},{y}_{3})$在抛物线上,比较$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小,并说明理由.