设二次函数$y=\left(x+1\right)\left(ax+2a+2\right)(a$是常数,$a\neq 0)$.
$(1)$若$a=1$,求该函数图象的顶点坐标.
$(2)$若该二次函数图象经过$\left(-1,1\right)$,$\left(-2,3\right)$,$\left(0,-2\right)$三个点中的一个点,求该二次函数的表达式.
$(3)$若二次函数图象经过$(x_{1}$,$y_{1})$,$(x_{2}$,$y_{2})$两点,当$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1} \lt x_{2}$时,$y_{1} \gt y_{2}$,求$a$的取值范围.