已知在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=5$,$BC=8$.点$D$为边$BC$上一点,且$BD=AC$,过点$B$作射线$BP\bot BC$,动点$E$从点$B$出发,以$1$个单位$/$秒的速度沿射线$BP$的方向运动,连接$DE$.
$(1)$如图$1$,当$BE=CD$时,线段$AD$与$DE$相等吗?请说明理由.
$(2)$当线段$DE$与$\triangle ABD$的其中一边垂直时,求出点$E$运动的时间$t$的值.