如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,直角三角形$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,正方形$IECF$中,$IE=EC=CF=FI=x$
$(1)$小明发明了求正方形边长的方法:
由题意可得$BD=BE=a-x$,$AD=AF=b-x$
因为$AB=BD+AD$,所以$a-x+b-x=c$,解得$x=\frac{a+b-c}{2}$
$(2)$小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:
利用$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AIB}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC}$可以得到$x$与$a$、$b$、$c$的关系,请根据小亮的思路完成他的求解过程:
$(3)$请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.