抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+bx+c(b$,$c$为常数）的顶点为$P$,其与$x$轴相交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧).点$M\left(0,3\right)$,$O$为原点.
$(Ⅰ)$若抛物线经过点$M$,
①当点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$时,求点$B$的坐标；
②连接$MP$,当$\angle OMP=45^{\circ}$时,求$b$的值；
$(Ⅱ)$若$c=b^{2}-1$,连接$MP$,$MB$,当$MP+MB$取得最小值时,求$b$的值.