已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过$A\left(1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$,$C\left(0,3\right)$.
$(1)$求二次函数解析式；
$(2)$按照列表、描点、连线的步骤,在图中画出该二次函数图象（要求至少画$5$个点）；
$(3)$当$0\leqslant x\leqslant 3$时,直接写出$y$的取值范围______.