小丽和爸爸从自家出发沿相同的路线去外婆家,途中要路过一个核酸检测点,小丽骑车速度为$15km/h$,小丽比爸爸晚出发$5$分钟,小丽骑自行车直接去外婆家,爸爸骑摩托车先到核酸检测点做核酸检测再以原速度去外婆家.图中的线段$DC$和折线$OABC$分别表示小丽和爸爸从自家到外婆家过程中离自家的路程$S(千米)$与离自家时间$t($分钟）的关系,请你根据图中给出的信息,解决下列问题.
$(1)$小丽到外婆家的距离是多少千米；
$(2)$爸爸做核酸检测用了多少分钟；
$(3)$如果小丽和爸爸以原速度同时出发,并且爸爸做核酸检测的时间不变,当小丽到了外婆家后发现爸爸还未到,立即返回去接爸爸,$4$分钟后与爸爸相遇,问:爸爸做完核酸检测后到外婆家的速度是多少$km/h$.